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By Rey Pastor, Julio

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Por cada P pasan por lo mellos dos r distintos. T EOR. l. Existen (por lo menos ) tres P distintos. : Deben aplicarse sucesivamente los axiomas 2, 4, S Y 1. Daremos ahora once inter pretaciones de esta teol'Ía abstl'acta. El lector debe adoptar en cada una la s ignificación adecuada para la relació11 "determina" y las expresiones "pertenece", "pasa por". Inter}J7'etac-ió n 1. P son los puntos y T las rectas en la geometría del espacio. lntej'pl'ctación 2, P S0I1 las rectas y r Jos puntos en la geomeh'ía del espacio.

El conjunto de intel'pretaciones concreta:; de que es susceptible Iv. Matemática llU l';;' f orma la Matemütic(l Q1Jlic(J(/a. Un ejemplo sencillo de teOl'ía abstracta es el siguiente: AXIOMA 1. Entre ciertos elementos P y ciel-tos elementos r existe una relación "determina" tal que : Dos P (P, y P,) determi llan un T, y sólo uno. DEF. 1. ', o que r pasa por p, y por P,. AXIOMA 2. Existe (por lo menos) tul P. AXIOMA 3. A cada r pertenecen por lo menos dos P distintos, AXIOMA 4. Por cada P pasan por lo mellos dos r distintos.

2 -7 e) Ir'reflexiva: N o es a [<] a. d) A simétrica: Si (¿ [<] b, entonces no es b [<1 a. Si a es anterior a b, se dirá que b es "posterior a" a. El orden estricto cumple la siguiente ley : Ley de tricotomía: Se da siemp re una, y sólo una, de las relaciofies a = b o a [<] b o b [ < ] a. Esta ley se demuestra mediante las cond iciones b), c) y d). Recíprocamente, estas tres condiciones pueden sustituirse por la ley de tricotomía, es decir, una l'elaCÍón binaria establece un orden estricto cuando, y sólo cuando, es transitiva y cumple la ley de tricotomía.

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