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By Luigi. BIANCHI

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Low Dimensional Topology

During this quantity, that is devoted to H. Seifert, are papers in line with talks given on the Isle of Thorns convention on low dimensional topology held in 1982.

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Es ist also m6glich, die H/iuser der Familien Miiller und Philipp kreuzungsfrei an die drei Werke anzuschlieBen. 10 Der ldirzeste geschlossene Weg in V5 besteht aus 3 Kanten. 4 Pl~ittbarkeit yon Graphen 25 Abbildung 11 zeigt den GEW-Graphen ffir drei H~iuser. Abb. l l Jeder Versuch, die drei H~iuser kreuzungsfrei mit den drei Werken zu verbinden, endet mit einem ~mlich zu dem in Abbitdung 11 rechts dargestellten Graphen. Es sieht so aus, als ob es ftir die letzte fett dargestellte Verbindung keine Umlegem6glichkeit gibt, bei der nicht eine neue Kreuzung entsteht.

3. Fall Die neue Kante hat als zweite Ecke eine neue Ecke (gestrichelt). e w~ichst dann um 1, ebenso k, die Flfichenzahl f findert sich nicht. Also bleibt e - k + fauch in diesem Fall unver/indert. Da der Graph zusammenhfingend ist9, erhalten wir so schlieBlich den ganzen Graphen, wobei sich bei keinem Schritt die Zahl e - k + f verLqdert. Mit Hilfe der Eulerschen Formel k6nnen wir nun beweisen, dass der voltstfindige Graph V5 nicht pl~ttbar ist. Satz 5: Der vollstfindige Graph V5 ist nicht pl~ittbar.

Beweis: durch vollst/indige Induktion (fiber n) I. Induktionsanfang - Die Behauptung gilt ffir n = 1, also ftir eine gezeichnete Gerade: Eine Gerade zerlegt die Landkarte in zwei Gebiete Gl und G2. Wir ffirben G1 mit Farbe 1 und G2 mit Farbe 2. Fiirn = 1 ist unsere Behauptung also bewiesen. II. Induktionsschritt zu zeigen: Wenn sich eine Landkarte aus n Geraden zuliissig f,irben 1/isst, dann 1/isst sich auch eine Landkarte aus (n + 1) Geraden zul~issig ffirben. Sei unsere Behauptung also flit n Geraden richtig: Eine Landkarte mit n Geraden l~isst sich mit zwei Farben zul/issig ffirben.

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