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By H.G. Garnir, K.R. Unni, J.H. Williamson

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8 macht die Bezeichnung zweizeiliges HornerSchema verständlich. 00. 52 - 8 . 3) . 60i. 41. 3. 68i. Ein Paar von Nullstellen liegt offenbar vor, wenn der zugehörige Quadratfaktor das Ausgangspolynom ohne Rest teilt, das heißt, wenn r(x) in (34) verschwindet, also bN- 1 = b~ = bN = gilt. Aus (35) ist abzulesen, daß bN- 1 und bN Funktionen von ß und y sind. Im allgemeinen werden sie für die gewählten Startwerte noch nicht verschwinden. Man sucht deshalb nach Korrekturen h, k, für die ° bN-1(ß+h,y+k) =0, bN(ß + h, y + k) = ° (38) wird.

L (2) V + Ist ~ : = u i . v, i : = -1, eine komplexe Nullstelle des reellen Polynoms (1), so gehört auch die konjugiert komplexe Größe ~ : = u - i . v zu den Nullstellen. Durch Multiplikation der beiden Linearfaktoren x - ~ und x - ~ erhält man ~inen reellen Quadratfaktor x2 + ß· x + y:= (x -~). (x - ß:= -2Re ~ =-2u, ~), y : = (Re W + (Im ~)2 = u + v 2 (3) 2• Denkt man sich je zwei zusammengehörige komplexe Linearfaktoren in dieser Weise miteinander multipliziert und faßt man auch noch die Linearfaktoren von je zwei reellen Nullstellen zu einem Quadratfaktor zusammen, so erhält man für PN die stets reelle Produktdarstellung PN(X) = ao' Nj2 TI k=l (x 2 + ßkX + Yk) .

Praktisch nutzt diese Erkenntnis wenig, da im allgemeinen vor Beginn der Rechnung kaum Informationen über die Vielfachheit der Nullstelle vorliegen. Man kann sie sich aber während der Rechnung (zumindest näherungsweise) verschaffen. Dazu führen wir die Funktion F(x) := f(x)//,(x) ein. Sie besitzt auch im Fall mehrfacher Nullstellen von f bei x = x* nur eine einfache Nullstelle, denn wegen (69) ergibt sich F'(x*) = lim (1 _ x--+x. I(x~ I"~X») = t (x) 1/8 =1= O. 5. Bemerkungen Das auf F(x) angewandte Newton· Verfahren konvergiert demzufolge quadratisch.

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