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By Jürgen Richter-Gebert, Thorsten Orendt (auth.)

Wie kann guy geometrische Objekte und Operationen so darstellen, dass sie durch möglichst einfache algebraische Manipulationen verarbeitet werden können? Dies ist die Leitfrage dieses Buches, welche im Verlauf von insgesamt 12 Kapiteln von verschiedenen Seiten beleuchtet wird. Unter diesem Blickwinkel werden Einführungen in projektive Geometrie, geometrische Invariantentheorie, Euklidische Geometrie (unter besonderer Berücksichtigung komplexer Zahlen) Möbiusgeometrie, und Lie‘sche Kreisgeometrie gegeben. Hierbei liegt der Schwerpunkt auf Eleganz der Methoden, welche nicht selten automatisch zu eleganten algorithmischen Ansätzen führen. Für den Leser stellt das Buch eine Brücke vom Grundwissen in der Linearen Algebra zu modernen (und klassischen) Ansätzen der Geometrie dar. Neben zahlreichen Übungsaufgaben, Abbildungen und im net verfügbaren interaktiven Visualisierungen wird jedes Kapitel durch einen „Exkurs" ergänzt, der Einblicke in Anwendungen oder weiterführende Themen gibt. Das Buch richtet sich an Studierende und Dozenten der Mathematik, Informatik und Physik ab dem dritten Semester.

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Low Dimensional Topology

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Die Matrix k¨onnen wir wieder als projektive Transformation (auf unserer Geraden [g]) begreifen, was soviel bedeutet wie, dass ein solcher Basiswechsel mittels einer projektiven Transformation beschrieben werden kann. Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir noch auf Zentralprojektionen eingehen. Wir haben zwei verschieden Geraden [g], [g ′ ] und ein Zentrum [O], von dem aus wir projizieren, welches nicht auf einer der beiden Geraden liegt. Ferner seien [A] und [B] zwei verschiedene Punkte auf [g] und [A′ ] und [B ′ ] die beiden Punkte auf [g ′ ], die durch die Projektion durch [O] von [g] auf [g ′ ] entstehen (vgl.

Folgern, welche die Behauptung zeigt. Die Nenner im obigen Ausdruck k¨onnen nicht verschwinden, da die Punkte [A] und [B] auf den Geraden nicht zusammen fallen. ⊓ ⊔ Auch hier k¨onnen wir die obige Abbildung als projektive Transformation begreifen. Die Abbildung ist eine Multiplikation mit einer 2 × 2-Matrix, denn es gilt λ′ µ′ = τ ·λ µ = τ 0 01 · λ µ . 2 Die reelle projektive Gerade Wir wollen uns im Folgenden n¨ aher mit der Geometrie auf einer reellen projektiven Geraden befassen. h. wir betten jetzt den R1 auf dem Niveau y = 1 im R2 ein (vgl.

Beide konnten durch das Kreuzprodukt im R3 berechnet werden. Um sie im Folgenden in Formeln dennoch begrifflich auseinander zu halten, f¨ uhren wir die Schreibwei1 da wir nicht auf Ebene der Repr¨ asentanten arbeiten m¨ ussen. J. Richter-Gebert, T. 1007/978-3-642-02530-3_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 29 30 3 Dualit¨ at se P ∨ P ′ f¨ ur den Join zweier Punkte und g ∧ g ′ f¨ ur den Meet zweier Geraden ein. Im Folgenden soll diese Vertauschbarkeit der Begriffe Punkt und Geraden etwas n¨aher herausgearbeitet werden.

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