By Hans Wilhelm Alt

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H. 46 1 Funktionenr¨ aume |f (x) − f (y)| ≤ Cf · σ(|x − y|) f¨ ur alle x, y, wobei σ : [0, ∞[ → [0, ∞[ stetig und strikt monoton wachsend sei mit σ(0) = 0. 7 H¨ olderstetige Funktionen. Sei S ⊂ IRn , Y Banachraum, wie vorher mit Norm y → |y|. F¨ ur 0 < α ≤ 1 und f : S → Y heißt H¨ olα (f, S) := sup |f (x) − f (y)| ; x, y ∈ S, x = y |x − y|α ∈ [0, ∞] H¨ older-Konstante von f auf S zum Exponenten α, und im Spezialfall α = 1 heißt Lip(f, S) := H¨ ol1 (f, S) Lipschitz-Konstante. Ist Ω ⊂ IRn oﬀen und beschr¨ ankt und m ≥ 0, so sind die zugeh¨ origen H¨ older-R¨ aume deﬁniert durch C m,α (Ω; Y ) := f ∈ C m (Ω; Y ) ; H¨ olα (∂ s f, Ω) < ∞ f¨ ur |s| = m .

15) folgt dann: Es gibt einen kleinsten σ-ﬁniten Maßraum (IRn , B, μ) mit B0 ⊂ B und μ = Ln auf B0 . Wir nennen μ das Lebesgue-Maß auf IRn und bezeichnen es mit Ln := μ. h. zu E ∈ B gibt es Borelmengen E1 , E2 mit E1 ⊂ E ⊂ E2 und Ln (E2 \ E1 ) = 0. h. ist gegeben durch B. e B0 ⊂ B, e σ-Algebra B (3) F¨ ur das Dirac-Maß sei S eine beliebige Menge, B bestehe aus allen Teilmengen von S, und zu gegebenen x ∈ S deﬁnieren wir ein Maß δx durch δx (E) := 1, falls x ∈ E, 0, sonst. (4) Wir betrachten das Oberﬂ¨ achenmaß auf einer gegebenen Fl¨ache.

Limesbetrachtungen in metrischen R¨ aumen beruhen in der Regel auf Ungleichungen, die wir insbesondere f¨ ur Funktionenr¨aume auch Absch¨atzungen nennen. Der Grenz¨ ubergang besteht dann in vielen F¨allen aus einem geschachtelten Limes. 20 Hinweis. h. 0 Strukturen ai −→ 0 27 f¨ ur i → ∞ . Wir setzen also die Ungleichung ai ≤ bk,i + ck f¨ ur i, k ∈ IN voraus und wissen, dass ck → 0 f¨ ur k → ∞, und dass f¨ ur jedes k ∈ IN gilt: bk,i → 0 f¨ ur i → ∞. Zu ε > 0 k¨ onnen wir dann zun¨ achst ein kε ∈ IN so w¨ahlen, dass ckε < ε.