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By Fredon D., Bertrand F., Maumy-Bertrand M.

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Low Dimensional Topology

During this quantity, that's devoted to H. Seifert, are papers in line with talks given on the Isle of Thorns convention on low dimensional topology held in 1982.

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Solution L'égalité z 8 = z entraîne |z 8 | = |z|, soit |z|8 = |z|. On a donc |z| = 0 ou |z| = 1. Si |z| = 0, alors z = 0. Si |z| = 1, il reste à écrire l'égalité des arguments, à un multiple de 2π près : 8 arg z = − arg z ⇐⇒ 9 arg z = 0 , 2kπ avec k ∈ {0,1,. . ,8}. 9 Les racines de z 8 = z sont donc 0 et les racines 9-ièmes de l'unité. soit arg z = Application n Calculez : k=0 n k cos kx . Solution n n k A= k=0 n © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. k=0 cos kx est la partie réelle de : n k n cos kx + i k=0 n k n sin kx = k=0 n k eikx = 1 + eix n .

Le résultat sera nul si, et seulement si, 3k est impair, c'est-à-dire k impair. Les entiers qui conviennent sont donc de la forme 6 p + 1 ou 6 p + 5, avec p ∈ N. Application Décomposez P = X 8 + X 4 + 1 en facteurs irréductibles dans R[X]. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Solution On peut chercher les racines de P dans C et les regrouper par paires de racines conjuguées. Mais on va plus vite avec les transformations algébriques : X 8 + X 4 + 1 = (X 4 + 1)2 − X 4 = (X 4 + 1 + X 2 )(X 4 + 1 − X 2 ) (X 4 + 1 + X 2 ) = (X 2 + 1)2 − X 2 = (X 2 + 1 + X)(X 2 + 1 − X) √ √ (X 4 + 1 − X 2 ) = (X 2 + 1)2 − 3X 2 = (X 2 + 1 + 3X)(X 2 + 1 − 3X) Donc : P = (X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1)(X 2 + √ √ 3X + 1)(X 2 − 3X + 1) .

44 Algèbre et géométrie en 30 fiches 9 Application Résolvez dans C : z 8 = z . Solution L'égalité z 8 = z entraîne |z 8 | = |z|, soit |z|8 = |z|. On a donc |z| = 0 ou |z| = 1. Si |z| = 0, alors z = 0. Si |z| = 1, il reste à écrire l'égalité des arguments, à un multiple de 2π près : 8 arg z = − arg z ⇐⇒ 9 arg z = 0 , 2kπ avec k ∈ {0,1,. . ,8}. 9 Les racines de z 8 = z sont donc 0 et les racines 9-ièmes de l'unité. soit arg z = Application n Calculez : k=0 n k cos kx . Solution n n k A= k=0 n © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

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